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记录实验过程

【知识体系】极限

Part 1.极限:

一、定义:

<一>  极限

①\(\begin{align} & (\epsilon \to N) If \forall \epsilon > 0, \exists N > 0 当 n > N时 \\ &|a_n – A| < \epsilon \\ & \Rightarrow \lim_{n \to \infty} a_n = A \end{align}\)


②\(\begin{align} &(\epsilon \to \delta)If \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 , 当 0 < |x-a| < \delta时,\\ &|f(x) – A| < \epsilon \\ & \Rightarrow \lim_{x \to \infty} f(x) = A \end{align}\)


③\(\begin{align} &(\epsilon \to x) \begin{cases} x \to -\infty \\ x \to +\infty \\ x \to \infty \end{cases} \\ & If \forall \epsilon >0 , \exists X>0,当x > X时,\\&|f(x) -A |< \epsilon \\ &\Rightarrow \lim_{x \to \infty} f(x) = A\end{align}\)


<二>  无穷小

\( If \lim_{x \to a} \alpha(x) = 0 ,称 \alpha(x)当 x \to a 时为无穷小\)


\(设\alpha \to 0, \beta \to 0 \begin{cases} If \lim \frac{\beta}{\alpha} = 0 \rightarrow \beta = o(\alpha) \\ If \lim \frac{\beta}{\alpha} = k (k \neq 0, k \neq \infty) \rightarrow \beta = O(\alpha) \\ If \lim \frac{\beta}{\alpha} = 1 \rightarrow \alpha \to \beta \end{cases}\)

二、性质

<一>一般性质:

1、(唯一性)

2、(保号性)

\(\begin{align} &\lim_{x \to a} f(x) = A \begin{cases} >0 \\ <0\end{cases} \rightarrow \\ & \exists \delta > 0,当 0 < |x-a| < \delta 时 \\ & f(x) \begin{cases} > 0 \\ < 0 \end{cases}\end{align}\)

3、(有界性)

\(\begin{align}& ① \lim_{n \to \infty} a_n = A \to \exists M > 0 使 |a_n| \leq M ,(反之不对)\\&② \lim_{x \to a}f(x) = A \rightarrow \exists \delta > 0, M > 0 \\ &当 0 < |x -a| < \delta 时, |f(x)| \leq M (局部有界性)\end{align}\)

<二>运算性质


1、\( \lim f(x) =A,\lim g(x) = B 则 \begin{cases}①\lim[f(x) \pm g(x)] = A \pm B \\ ② \lim[f(x)g(x)] = AB \\ ③\lim[f(x)/g(x)] = \frac{A}{B} (B \neq 0) \end{cases}\)


2、\(\begin{align} &\lim_{u \to a} f(u) = A,u = \varphi (x)且 \varphi(x) \neq a \\&则 \lim_{x \to x_0} \varphi (x) = a, 则 \lim_{x \to x_0}f[\varphi (x)] = A\end{align}\)


<三>存在性质

1、夹逼准则<迫敛定理> \(\begin{align}If \begin{cases} a_n \leq b_n \leq c_n \\ \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} c_n = A \end{cases} \Rightarrow \lim_{n \to \infty }b_n = A \end{align}\)

2、单调有界的数列必定存在极限

<四>无穷小性质

1、一般性质


\(① \alpha \to 0 , \beta \to 0 \Rightarrow \begin{cases} \alpha \pm \beta \to 0 \\ \alpha \beta \to 0 \\ \beta \alpha \to 0\end{cases}\)


\(②|\alpha| \leq M , \beta \to 0 \Rightarrow \alpha \beta \to 0 \)


\(③\lim f(x) = A \Leftrightarrow f(x) = A + \alpha, \alpha \to 0\)


2、等价性质

\( \alpha \to \alpha ^{'}\)

3、常见等价无穷小

\( \begin{align} & x \to 0 \\&①x \to sinx \to tanx \to arcsinx \to arctanx \to e^{x}  – 1 \to ln(1+x)  \\ &②(1-cosx) \to \frac{1}{2}x^{2} \\&③ (1+x)^{a} – 1 \to ax\end{align}\)

三、两个重要极限

\( \begin{align} &①\lim_{\Delta \to 0} \frac{sin\Delta}{\Delta} = 1 \Leftrightarrow \lim_{\Delta \to 0} \frac{\Delta}{sin\Delta} \\ & ②\lim_{\Delta \to 0 }  (1 + \Delta) ^{\frac{1}{\Delta}} = e \end{align}\)

Part 2.连续与间断

一、定义

1、连续:

\(\begin{align}&If \lim_{x \to a}f(x) = f(a) \Leftrightarrow \begin{cases} \lim_{x \to a^{-}} f(x) = f(a) \\ \lim_{x \to a^{+}}f(x) = f(a) \end{cases} \\ &称f(x)在x = a 处连续\end{align}\)

2、间断:

\( \begin{align} &If \lim_{x \to a} f(x) \neq f(a) ,称f(x)在x = a 处间断  \\ &分类:\\ &第一类:f(a – 0) ,f(a + 0 )存在,\begin{cases} f(a -0) = f(a+0)  \to a为可去间断点 \\ f(a-0) \neq f(a+0) \to a为跳跃间断点\end{cases} \\ &第二类:f(a-0),f(a + 0)任意一个不存在 \to a为震荡间断点 \end{align}\)

二、\(f(x) \in [a,b]四大性质 \)

<一>最大最小值定理

<二>一直连续性定理

<三>零点定理

<四>介值定理

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