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【数学公式】常用不定积分积分表

背景:

    考研复习开展到了不定积分这部分,在这部分中的学习中,理解了原函数、不定积分的概念。掌握了不定积分的基本性质和一些运算法则。也尝试去通过已有条件去推导一些复杂的不定积分积分表。现做出一份常用的积分表。供日后学习使用。

正文:

1、常数:

\(\int Kdx = Kx + C\)

2、幂函数:

\( \int x^a dx = \begin{cases} \frac{1}{a+1} x^{a+1} + c,a \neq -1 \\ \ln |x| + c,a = -1 \end{cases} \)

3、指数函数:

\( \int a^x = \begin{cases} \frac{a^x}{\ln a}+C , a \neq e \\ e^x, a = e \end{cases}\)

4、三角函数

①\(\int \sin x dx = -\cos x  + C\)

②\(\int \cos x dx = \sin x + C\)

\(\int \tan  x dx = -\ln |\cos x| + C\)

\(\int \cot x dx = \ln |\sin x| + C\) 

\(\int \sec x dx = \ln |\sec x + \tan x| + C\)

\(\int \csc x dx = \ln |\csc x – \cot x| + C\) 

\(\int \sec ^2 x = \tan x + C\)

\(\int \csc ^2 x = -\cot x +C\)

\(\int \sec x \tan x d x = \sec x + C\)  

\(\int \csc x \cot x dx = -\csc x + C\) 

5、平方和、差

①\(\int \frac{1}{\sqrt{1 – x^2}} dx = \arcsin x + C\)

\(\int \frac{1}{\sqrt{a^2 – x^2}} dx = \arcsin \frac{x}{a} + C\)

\(\int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan x + C\)

\(\int \frac{1}{a^2 + x^2} dx= \arctan \frac{x}{a} + C\)

\(\int \frac{1}{x^2 – a^2} dx= \frac{1}{2a} \ln |\frac{x-a}{x+a}| + C\)

\(\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} dx = \ln (x + \sqrt{x^2 + a^2}) + C\)

\(\int \frac{1}{x^2-a^2} dx = \ln |x+\sqrt{x^2 – a^2}| + C\)

\(\int \sqrt{a^2 – x^2} dx = \frac{a^2}{2} \arcsin{\frac{x}{a}} + \frac{x}{2} \sqrt{a^2 -x^2} + C\)

参考文献:

  • 《高等数学》第七版上册·同济大学出版社

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