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记录实验过程

【知识体系】微分方程

Part 1 一阶微分方程

\(\begin{align}&1.可分离变量的微分方程\begin{cases} 类型:\frac{dy}{dx} = \varphi _1 (x) \varphi _2 (y) \\ 解法:\int \frac{dy}{ \varphi _2(y)} = \int \varphi _1(x)dx + C \end{cases} \\ & 2.齐次微分方程 \begin{cases} 类型: \frac{dy}{dx} = \varphi (\frac{y}{x}) \\ 解法:令\frac{y}{x} = u \Rightarrow u + x \frac{du}{dx} = \varphi (u) \Rightarrow \int \frac{du}{\varphi (u) – u} = \int \frac{dx}{x} dx + C \end{cases}\\&3.一阶微分方程 \begin{cases}1.一阶齐次线性微分方程 \begin{cases} 类型:\frac{dy}{dx} + P(x)y  = 0 \\解法:y = Ce^{\int P(x)dx} + C\end{cases} \\ 2.一阶非齐次线性微分方程 \begin{cases} 类型:\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) \\ 解法:y = [\int Q(x)e^{\int P(x)dx} + C] e^{-\int P(x)dx}\end{cases}\end{cases} \end{align}\)

Part 2 可降阶的高阶微分方程

\(\begin{cases} 1.y^{n} = f(x) \\ 2. f(x,y^{'}, y^{''}) = 0 \Rightarrow f(x, p ,\frac{dp}{dx}) = 0 \\3.f(y,y^{'},y{''}) = 0 \Rightarrow f(y,\frac{dp}{dy},p\frac{dp}{dy})\end{cases}\)

Part 3高阶线性微分方程

一、概念与结构

二、Special cases

\(\begin{cases}1. 常系数齐次线性微分方程 \begin{cases} 1.y^{''} + py^{'} + qy = 0 \\ 2.y^{'''}+py^{''} + qy^{'} + ry =0\end{cases} \\ 2.常系数非齐次线性微分方程: y^{''} + py^{'} + qy = f(x) \\ \begin{cases} 1.f(x) =P_n(x) e^{kx}\begin{cases}1.右边什么样子,特解假设成什么样子 \\ 2.找出k的值 \end{cases}\\ 2.f(x)含三角函数\begin{cases}1.指数函数放外边\\2.按照右边的样子做假设\\3.\sin \cos 都要有 \end{cases}\end{cases}\end{cases}\)

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