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【知识体系】常数项级数

\(\begin{align} &常数项级数\begin{cases} 一、定义 \begin{cases}\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n \\ \lim\limits_{n \to \infty} S_n\end{cases}\\ 二、性质 \begin{cases} 1.\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n = A ,\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n = B 则: \sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n+b_n)=A+B \\2.\sum\limits_{n=1}^{\infty }a_n = s 则:\sum\limits_{n=1}^{\infty} k a_n = kS \\3.添加、减少、改变有限项,级数的敛散性不变。\\4.添加括号提高收敛性 \\ 5.(必要条件)若\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n收敛,则\lim\limits_{n \to \infty} a_n = 0(反之不对!)\end{cases} \\ 三、两个重要的常数项级数\begin{cases} 1、P级数\begin{cases} ①定义: \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \\②结论:\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \begin{cases} 收敛 \to p > 1 \\发散 \to p \leq 1\end{cases}\end{cases} \\ 2、几何级数\begin{cases}①定义:\sum\limits_{n=1}^{\infty}a q^n (a \neq 0) \\ ②结论:\sum\limits_{n=1}^{\infty} a q^n \begin{cases} 发散 |q| \to \geq 1 \\ 收敛于\frac{aq}{1-q} \to |q| < 1\end{cases}\end{cases}\end{cases}\\四、\begin{cases}正项级数\begin{cases}①定义: \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n(a \geq 0) \\②审敛法\begin{cases}1.比较审敛法\begin{cases}①形式:(a_n \geq 0 , b_n \geq 0)(向0跑得越快,收敛的肯能性越大)\\②结论:\begin{cases} ① a_n \leq b_n 且 \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n 收敛,\\ 则\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n 也收敛 \\ ②a_n \geq b_n 且 \sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n发散,\\ 则\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n 发散\end{cases} \\③推论:\begin{cases} 若:\lim\limits_{n \to \infty} \frac{b_n}{a_n} = l \\ (0 < l < +\infty) \\ 则\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n 与 \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n \\ 敛散性一致\end{cases}\end{cases}\\2.比值法\begin{cases} ①基本形式:a \geq 0 \lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \rho \\ ②结论:\begin{cases} 1. \rho < 1 \to 收敛 \\ 2.\rho > 1 \to 发散 \\ 3.\rho =1 \to 不用此法\end{cases}\end{cases}\\3.根值审敛法\begin{cases}①基本形式: a \geq 0 \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \rho \\ ②结论:\begin{cases} 1.\rho <1 \to 收敛 \\ 2. \rho >1 \to 发散 \\ 3. \rho = 1 不用此法\end{cases}\end{cases} \end{cases}\end{cases}\\交错级数 \begin{cases}①定义:\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}a_n / \sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n a_n (a \geq 0) \\②审敛法:莱布尼茨审敛法\begin{cases}若\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}u_n满足条件:\\ 1.u_n \geq u_{n+1} (n=1,2,3,\cdots)\\(单调递减) \\ 2.\lim\limits_{n\to\infty}u_n = 0 \\(有下界)\\ 则此级数收敛\end{cases} \end{cases}\\条件收敛/绝对收敛:(适用于除了正项级数以外的级数) \end{cases}\end{cases}\end{align}\)

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