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【高等数学】函数极值相关问题的一些总结

【背景】

我们在高等数学上中学过一元函数求极值,在高等数学下中学了多元函数极值,现将两类问题汇总,做些总结,整合成一个小体系。为做题提供一些帮助。

【知识框体】

\(极值\begin{cases}一元:y=f(x):\begin{cases} \\ 1、x \in D \\2 、f'(x) \begin{cases} =0   &驻点 \\ \neq 0  &极值不存在  \end{cases} \\3、判别法:\begin{cases}①第一判别法 \\ ②第二判别法 \end{cases}\end{cases} \\ 多元 \begin{cases} \\一、无条件极值: z=f(x,y) \begin{cases}1、 (x,y) \in D (开区间) \\ 2、\begin{cases}\frac{\partial z}{ \partial x} = 0 \\ \frac{\partial z}{\partial y} = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x=0 \\ y=0 \end{cases} (驻点) \\ 3、判别法(x_0,y_0)为驻点:\\ A = f''_{xx}(x_0,y_0) , B = f''_{xy}(x_0,y_0),C  = f''_{yy}(x_0,y_0) \\ AC-B^2\begin{cases}>0 \rightarrow 是极值点 \begin{cases} A < 0 &极大点 \\ A > 0 &极小点\end{cases} \\ <0 \rightarrow 非极值点 \end{cases}\end{cases} \\ 二、条件极值\begin{cases} 1、拉格朗日乘数法 \\ 2、定积分法\end{cases}\end{cases}\end{cases} \)

【对判别法的一些补充】

1、一元函数极值判别法

①第一判别法\(f'(x_0) = 0 \)

1)\( \begin{cases}x < x_0& f'(x) < 0 \\ x > x_0 &f'(x) > 0 \end{cases} \Rightarrow x_0 为极小点\)

2)  \( \begin{cases} x < x_0 & f'(x) > 0 \\ x > x_0 & f'(x) < 0\end{cases} \Rightarrow x_0 为极大点 \)

②第二判别法

\(f'(x_0) =0 \rightarrow f''(x_0) \begin{cases} >0 &x_0为极小点 \\ < 0 &x_0为极大点\end{cases}\)

2、多元函数极值判别法(针对条件极值)

①拉格朗日乘数法求极值

case 1: \( z = f(x,y),受制于(S.T) \varphi(x,y) = 0 \)

\(\begin{align}&1、令F(x,y,\lambda) = f(x,y) + \lambda \varphi(x,y)  \\&2、求x,y,\lambda的偏导数 \rightarrow \begin{cases}\frac{\partial F}{ \partial x} = f'_x + \lambda \varphi '_x  = 0 \\ \frac{\partial F}{ \partial y} = f'_y + \lambda \varphi '_y  = 0 \\ \frac{\partial F}{\partial \lambda} = \varphi(x,y) = 0\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = ? \\ y=?\end{cases} \\&3、将(x,y)代入1式\end{align}\)

case 2 :\(u = f(x,y,z),受制于(S.T) \begin{cases}\varphi(x,y,z) = 0 \\ \psi(x,y,z) = 0 \end{cases}\)

\(\begin{align}&1、 令F = f + \lambda \varphi + u \psi  \\ &2、 求偏导 \begin{cases}F'_x = f'_x + \lambda \varphi '_x + u \phi '_x = 0 \\ F'_y = f'_y + \lambda \varphi '_y + u \psi '_y = 0\\F'_z = f'_z + \lambda \varphi '_z + u \psi '_z = 0 \\ F'_{\lambda} = \varphi(x,y,z) = 0 \\ F'_u = \psi(x,y,z) = 0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}x=?\\y=?\\z=? \end{cases} \\&3、将(x,y,z)代入1式\end{align} \)

②定积分法求极值

所谓定积分法求极值,就是利用定积分思想,将多元利用三角函数、参数方程等共计降维度,再用特定工具进行讨论即可,如三角函数的极值范围,参数方程t的取值范围等。

【总结】

本章对试题常见的求极值类型做了总结,并归纳了一些解题技巧,在做题中要充分明确考查的范围并对号入座,这样解题的速度就会得到质的飞跃,当然题量得做够。

【参考文献】

  • 《高等数学》第七版-上册 同济大学数学系 编

  • 《高等数学》第七版-下册 同济大学数学系 编

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